Alice e le Olimpiadi di Matematica

Alice, Bruno e Claudia si sono classificati pari merito nelle Olimpiadi di Matematica e si apprestano alla Gara Finale di Spareggio.

I giudici di gara decidono di proporre un quiz.

Vengono quindi posti tutti e tre intorno ad un tavolo e, mentre sono bendati, ad ognuno viene posto in testa un cappello, che può essere o bianco o nero. Quando verrà dato il “via”, le bende cadranno, e ogni ragazzo potrà vedere i cappelli degli altri due. Le regole del gioco prevedono che ogni ragazzo batta un colpo sul tavolo se vede almeno un cappello bianco, e ne batta due non appena capisce di quale colore è il suo proprio cappello.

Non appena viene dato il via e cadono le bende, Alice batte subito per tre volte di seguito la mano sul tavolo e, senza aspettare la reazione degli altri due, annuncia “Il mio cappello è bianco”, e si aggiudica la gara.

Come ha fatto?

Primo Aiuto:
Se al posto dei giudici di gara ci fossero stati dei cannibali ed al posto dei cappelli fosse stato messo un osso bianco o nero sopra le loro teste, Alice non sarebbe potuta arrivare alla soluzione.

Secondo Aiuto:
Un professore di Chimica pone un indovinello ad un ragazzo che vuole uscire con sua figlia; siccome vuole un genero intelligente, gli propone un quesito davvero difficile. Il ragazzo riesce a risolvere il gioco e il professore dandogli il permesso di uscire con la figlia gli chiede: come hai fatto ad indovinare? Il ragazzo disse: “una cosa sopra tutto mi ha aiutato; la certezza che la soluzione esiste, proprio perché è un gioco.”….. da un racconto di Asimov

Terzo Aiuto:
Alice sapeva la soluzione prima che il gioco cominciasse, praticamente quando il gioco veniva spiegato dai giudici di gara.

Quarto Aiuto:
Alice è stata velocissima; doveva dare la risposta esatta per prima perché tutti e tre i concorrenti avrebbero avuto la soluzione immediatamente.

Quinto Aiuto:
Immaginate che si stia davvero celebrando la finale delle Olimpiadi di Matematica fra i tre ragazzi, immaginate di essere gli organizzatori del gioco… quali sono le regole che vi auto imponete per far funzionare questa finale? Dovete essere certi che nessun ragazzo bari e che vinca il migliore ma, sopratutto dovete creare un problema che sia assolutamente equo e risolvibile. I tre ragazzi devono essere perfettamente alla pari nella sfida finale per evitare contestazioni o accuse di parzialità.

Sesto Aiuto:
Se riguardate le combinazioni possibili, si può notare che il concorrente che vede gli altri due indossare due cappelli bianchi, potrà intraprendere un certo tipo di ragionamento, giusto o sbagliato che sia. Mentre, al contrario, vedere un cappello bianco ed uno nero porterà ad un ragionamento diverso. A questo livello di astrazione non è importante capire dove vadano a parare le varie logiche elaborative e neanche se portano ad una soluzione opure no, neppure se siano davvero di pari difficoltà o meno.

Settimo Aiuto, Soluzione:
Quel che è importante considerare è che i concorrenti devono essere messi in condizioni identiche di soluzione. Questo implica che il comitato organizzatore debba fare in modo che le condizioni iniziali siano esattamente le stesse per tutti e tre i partecipanti: l’unica maniera possibile per avere le medesime condizioni iniziali è che tutti e tre i ragazzi abbiano il cappello di colore bianco.

Soluzione, Dettagli:
Alice, partendo dalla consapevolezza che:

  • 2 cappelli neri ed uno bianco obbligherebbe i giocatori ad attendere la risposta degli altri in quanto l’ultimo viene privilegiato
  • 2 cappelli bianchi ed uno nero non darebbe la soluzione certa a nessuno
  • 3 cappelli neri tutti stanno zitti all’infinito
  • I giudici di gara, imparziali nel cercare un vincitore, devono cercare un quiz ideale che non privilegi nessuno dei 3 classificati ma garantisca un vincitore.
  • L’unica combinazione esatta è, appunto, 3 cappelli di colore bianco.

Andiamo Oltre:

  • Come mai Alice ha battuto 3 volte?
    Il primo colpo è per aver visto il cappello bianco e gli altri 2 per comunicare la soluzione.
  • Come mai gli altri non hanno battuto avendo di fronte dei cappelli bianchi?
    Perché Alice, intuendo già la strategia prima che il gioco iniziasse, non gli ha dato il tempo.
  • Esiste una soluzione puramente matematica che non tenga conto del comportamento imparziale dei giudici?
    Si. Hanno battuto tutti e tre un colpo e poi si sono fermati senza riuscire a indovinare. Allora Alice ha capito che l’unica possibilità che li avrebbe lasciati in stallo senza decidere è che dovevano avere tutti e tre il cappello bianco.

 

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